Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，設(shè)直線與圓相切與點(diǎn)，與橢圓相切于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，線段長(zhǎng)度最大？并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)，最大值為1.

【解析】

(1)利用基本量的關(guān)系列式求解即可.

(2) 設(shè)直線的方程為,根據(jù)直線與圓相切可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用相切則所得的二次方程判別式為0可得,再聯(lián)立可得.再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合距離公式以及,在根據(jù)基本不等式求解最大值即可.

解：（1）由題,,

故,解得.

故橢圓方程為.

（2）連接OA,OB，如圖所示：

設(shè)直線的方程為,

因?yàn)橹本�與圓：相切于,

所以,即①,

因?yàn)?/span>與橢圓：相切于點(diǎn),

由得,

即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,

則,

即,②

由①、②可得,

設(shè),由求根公式得,

∴,

∴,

∴在直角三角形中,

,

因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

所以,

即當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為1.