Question

已知函數f（x）=x-1-lnx．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）求證：當n∈N^*時，；
（3）對于函數h（x）和g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，b，使得不等式h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，則稱直線y=kx+b是函數h（x）與g（x）的“分界線”．設函數，g（x）=e[x-1-f（x）]，試問函數h（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出常數k，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=x-1-lnx（x＞0）
∴，
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）的最小值為f（1）=0．…（4分）
（2）證明：由（1）知當x＞0時恒有f（x）≥0，即x-1≥lnx，
∴e^x-1≥x，從而有e^x≥x+1，當且僅當x=0時取等號，…（6分）
分別令，
得，
相乘可得．…（8分）
（3）解：令，
則，
當時，F′（x）＜0，F（x）遞減，
當時，F′（x）＞0，F（x）遞增，
∴當時F（x）取得最小值0，
則h（x）與g（x）的圖象在處有公共點．…（10分）
設函數h（x）與g（x）存在“分界線”，方程為，
應有在x∈R時恒成立，
即在x∈R時恒成立，
必須，
得．…（13分）
下證在x＞0時恒成立，
記，
則，當時，G′（x）＞0，G（x）遞增，
當時，G′（x）＜0，G（x）遞減，
∴當時G（x）取得最大值0，
即在x＞0時恒成立，
綜上知，函數h（x）與g（x）存在“分界線”，其中．…（16分）
分析：（1）由f（x）=x-1-lnx（x＞0）知，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，由此能求出f（x）的最小值．
（2）由（1）知當x＞0時恒有f（x）≥0，即x-1≥lnx，故e^x-1≥x，從而有e^x≥x+1，當且僅當x=0時取等號，由此能夠證明當n∈N^*時，．
（3）令，則，當時，F′（x）＜0，F（x）遞減，當時，F′（x）＞0，F（x）遞增，故當時F（x）取得最小值0，則h（x）與g（x）的圖象在處有公共點．由此能夠導出函數h（x）與g（x）存在“分界線”，其中．
點評：本題考查利用導數求閉區(qū)間上函數最值的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．