Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0).

(1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)p＝1時(shí)，若拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)在直線上，得，即.，從而可求得拋物線方程；（2）當(dāng)時(shí)，曲線.設(shè)， ，線段的中點(diǎn)，由點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，可得直線的斜率為，設(shè)其方程為，由，可得，根據(jù)韋達(dá)定理可得的坐標(biāo).

試題解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為

由點(diǎn)在直線上，

得，即.

所以拋物線的方程為.

（2）當(dāng)時(shí)，曲線.

設(shè)， ，線段的中點(diǎn)

因?yàn)辄c(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線垂直平分線段，

于是直線的斜率為-1，設(shè)其方程為，

由，消去得，

由和是拋物線的兩相異點(diǎn)，得，

從而，

因此，所以，

又在直線上，所以

所以點(diǎn)，此時(shí)滿足式，

故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.