Question

【題目】在數(shù)列中，，.數(shù)列滿足，且.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1); (2) ；(3) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).

【解析】

（1）由遞推公式求出，再根據(jù)即可求出的值；（2）由，，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，可化簡(jiǎn)得，進(jìn)而確定數(shù)列的首項(xiàng)與公比，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；（3）由（2）中數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，分n為奇數(shù)與n為偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論求的取值范圍.

（1），，又且，

所以；

（2）因?yàn)?/span>，且，

所以，

所以，則，

因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；

（3）由是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列知，

因?yàn)?/span>，得，

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)樯鲜綄?duì)正奇數(shù)恒成立，所以；

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)樯鲜綄?duì)正偶數(shù)恒成立，所以.

綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).