Question

已知臺(tái)風(fēng)中心B位于城市A正東方向200

6

km處，正以每小時(shí)40km的速度向西北方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心400km范圍內(nèi)將會(huì)受到其影響．如果臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不變，那么該城市從何時(shí)起要遭受臺(tái)風(fēng)影響？這種影響將持續(xù)多長時(shí)間？

Answer 1

分析：解法一：在△ABC中由余弦定理，計(jì)算BC₁，BC₂，即可得出結(jié)論；
解法二：在△ABC中由正弦定理，計(jì)算∠AC₁B=120°，∠AC₂B=60°，再求出BC₁，BC₂，即可得出結(jié)論．

解答：解法一：設(shè)臺(tái)風(fēng)沿直線BM方向運(yùn)動(dòng)，城市A首次和最后受臺(tái)風(fēng)影響時(shí)臺(tái)風(fēng)分別位于C₁和C₂處，則
在△ABC中由余弦定理有：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos45°，…（6分）
可得：BC1=200(

3

-1)km，BC2=200(

3

+1)km…（8分）
故城市A首次受臺(tái)風(fēng)影響時(shí)t1=

BC1

40

=5(

3

-1)小時(shí)，…（10分）
這種影響將持續(xù)t=

C1C2

40

=10小時(shí)．…（12分）
解法二：設(shè)臺(tái)風(fēng)沿直線BM方向運(yùn)動(dòng)，城市A首次和最后受臺(tái)風(fēng)影響時(shí)臺(tái)風(fēng)分別位于C₁和C₂處，則
在△ABC中由正弦定理有：

AB

sin∠BC A

=

AC

sin45°

，∴sin∠AC1B=

3

2

∴∠AC₁B=120°，∴∠AC₂B=60°，…（4分）
則在△ABC₁中由正弦定理有：

BC1

sin15°

=

AC1

sin45°

，可得：BC1=200(

3

-1)km，…（6分）
在△ABC₂中由正弦定理有：

BC2

sin75°

=

AC2

sin45°

，可得：BC2=200(

3

+1)km；…（8分）
故城市A首次受臺(tái)風(fēng)影響時(shí)t1=

BC1

40

=5(

3

-1)小時(shí)，…（10分）
這種影響將持續(xù)t=

C1C2

40

=10小時(shí)．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理、正弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．