Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列，滿足：，當時，；對于任意的正整數(shù)，
．設(shè)數(shù)列的前項和為.
（Ⅰ）計算、，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求滿足的正整數(shù)的集合.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ） 

（1）由，當時，；令可求出猜想用數(shù)學歸納法證明.或者判斷數(shù)列是等差數(shù)列求解；（2）由和，兩式相減結(jié)合可求出錯位相減法求出，解不等式，即解得.
（Ⅰ）在中，取，得，又，故 
同樣取，可得 
由及兩式相減，可得，
所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，公差為，而，
故是公差為的等差數(shù)列，   ……………………………………………… （6分）
(注：猜想而未能證明的扣分；用數(shù)學歸納法證明不扣分.)
（Ⅱ）在中，令，得
由與兩式相減，可得，
化簡，得.
即當時，.
經(jīng)檢驗也符合該式，所以的通項公式為.
∴.
.
兩式相減，得.
利用等比數(shù)列求和公式并化簡,得.
可見，對，.經(jīng)計算，，
注意到數(shù)列的各項為正，故單調(diào)遞增，
所以滿足的正整數(shù)的集合為  ……………………………… （12分）