Question

12．已知$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$均為非零向量，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2，點(diǎn)M是線段BC（含兩端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=1，則|$\overrightarrow{AM}$|的取值范圍是A={x|$\frac{1}{8}$≤x≤1}的充分不必要條件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”四者之一）．

Answer 1

分析 解如圖所示，由$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$均為非零向量，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2，可得AB⊥AC，BC=2．設(shè)P是BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AP}$．AP=$\frac{1}{2}BC$=1．設(shè)$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AP}＞$=θ．由于$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=1，可得$|\overrightarrow{AM}|cosθ$=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$均為非零向量，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2，
∴AB⊥AC，BC=2．
設(shè)P是BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AP}$．
AP=$\frac{1}{2}BC$=1．
$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AP}＞$=θ．
∵$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=1，
∴$|\overrightarrow{AM}|cosθ$=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)M在AP的中垂線上運(yùn)動(dòng)，又M點(diǎn)在BC上，
∴1≥$|\overrightarrow{AM}|$$＞\frac{1}{2}$．
∴|$\overrightarrow{AM}$|的取值范圍是A={x|$\frac{1}{8}$≤x≤1}的“充分不必要”．
故答案為：充分不必要．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的三角形法則、直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．