Question

4．已知函數f（x）=x²+2sinθ•x-1，x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（1）當sinθ=-$\frac{1}{2}$時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是單調函數，且θ∈[0，2π），求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，根據二次函數的性質求出函數的最大值和最小值即可；
（2）求出函數的對稱軸，根據函數f（x）的單調性，得到-sinθ≤-$\frac{1}{2}$或-sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而求出θ的范圍即可．

解答 解：（1）當sinθ=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
由x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，當x=$\frac{1}{2}$時，f（x）有最小值為-$\frac{5}{4}$，
當x=-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）有最大值-$\frac{1}{4}$；
（2）由已知f（x）=x²+2sinθ•x-1的圖象的對稱軸為x=-sinθ，
要使f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是單調函數，
則-sinθ≤-$\frac{1}{2}$或-sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即sinθ≥$\frac{1}{2}$或sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又θ∈[0，2π），
所以θ的取值范圍是：[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]∪[$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查二次函數的性質以及三角函數的性質，是一道中檔題．