Question

如圖，已知雙曲線的左、右頂點分別為A₁、A₂，動直線l：y＝kx＋m與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為．

(1)求k的取值范圍，并求的最小值；
(2)記直線的斜率為，直線的斜率為，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

(1) (－1，1) ；2．
(2) 定值－(3＋2)

(1)∵l與圓相切，∴1＝
∴m²＝1＋k²，①
由得，
∴
∴，∴，故k的取值范圍為(－1，1)．
由于，
∴，
∵∴當時，取最小值為2．
(2)由已知可得，的坐標分別為(－1，0)，(1，0)，
∴，，
∴＝=
＝
＝
＝＝，
由①，得，
∴＝＝－(3＋2)為定值．