Question

22. 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x＝－1相切，點(diǎn)C在l上.

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn).

（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；

（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

22.

（Ⅰ）解法一：依題意,曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線M的方程為y²＝4x.

解法二：設(shè)M（x,y）,依題意有|MP|＝|MN|,

所以|x+1|＝,化簡(jiǎn)得：y²＝4x.

 

（Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y＝－（x－1）,由

消y得3x²－10x+3＝0,解得x₁＝,x₂＝3.

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（,）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,－2）,

|AB|＝x₁+x₂+2＝.

假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|＝|AB|，且|AC|＝|AB|，即

由①－②得4²+（y+2）²＝（）²+（y－）²,

解得y＝－.

 

但y＝－不符合①，

所以由①②組成的方程組無解.

因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.

 

（ii）解法一：設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由得y＝2,

即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠2.

 

又|AC|²＝（－1－）²+（y－＝

 

|BC|²＝（3+1）²+（y+2）²＝28+4y+y²,

 

|AB|²＝（）²＝.

 

當(dāng)∠CAB為鈍角時(shí)：cosA＝<0

 

即|BC|²＞|AC|²+|AB|²,即28+4y+y²＞y+y²+,即y＞時(shí)，∠CAB為鈍角.

 

當(dāng)|AC|²＞|BC|²+|AB|²,即y+y²＞28+4y+y²+,即y＜－時(shí)，∠CBA為鈍角.

 

又|AB|²＞|AC|²+|BC|²,即+y²+28+4y+y²,

 

即y²+y+＜0,（y+）²＜0.

 

該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y＜－或y＞（y≠2）.

 

解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x－）²+（y+）²＝（）².圓心（）到

 

直線l：x＝－1的距離為,所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（－1，－）.

 

當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.

因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

過點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為y－.

令x＝－1得y＝.

過點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2＝（x－3）.

令x＝－1得y＝－.

又由

所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形.

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y＜－或y＞（y≠2）.