Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；；（3）

【解析】

（1）利用與關(guān)系，遞推作差，再由等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式得答案；

（2）對(duì)已知遞推公式兩邊同除以，由等差數(shù)列定義可證，再帶入等差數(shù)列通項(xiàng)公式中即可；

（3）由（2）可知數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求和即可.

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)時(shí)，，，

兩式相減得，又，所以，

從而數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，

從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

(2)由兩邊同除以，得，

從而數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，

從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（3）由（2）得，

于是，

所以，

兩式相減得，

所以，