Question

13．設(shè)集合A的元素為實數(shù)，且滿足①1∉A；②若a∈A，則$\frac{1}{1-a}$∈A．
（1）若2∈A，試求集合A；
（2）若a∈A，試求集合A；
（3）集合A能否為單元素集合？若能，求出該集合；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，便可由2∈A，得到-1∈A，$\frac{1}{2}∈A$，會又得到2∈A，從而A的元素只有2，-2，$\frac{1}{2}$三個，寫出集合A即可；
（2）根據(jù)條件求出A的所有元素：a，$\frac{1}{1-a}，\frac{1-a}{-a}$，求解過程同上；
（3）可假設(shè)A可為單元素集合，根據(jù)（2）便可得到a需滿足：$a=\frac{1}{1-a}=\frac{1-a}{-a}$，容易說明該方程無解，從而得出結(jié)論：A不存在單元素集合．

解答 解：（1）根據(jù)題意：若2∈A，則$\frac{1}{1-2}=-1∈A$，$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}∈A$，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2∈A$；
∴$A=\{2，-1，\frac{1}{2}\}$；
（2）若a∈A，則$\frac{1}{1-a}∈A$，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=\frac{1-a}{-a}∈A$，$\frac{1}{1-（\frac{1-a}{-a}）}=a∈A$；
∴$A=\{a，\frac{1}{1-a}，\frac{1-a}{-a}\}$；
（3）若集合A為單元素集合，則：$a=\frac{1}{1-a}=\frac{1-a}{-a}$；
∴a²-a+1=0；
△＜0，該方程無解；
∴A不能為單元素集合．

點評 考查元素與集合的概念，元素與集合的關(guān)系，理解單元素集合的概念．