Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且在軸上的頂點分別為，.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與軸交于點，點為直線上異于點的任一點，直線分別與橢圓交于點，試問直線能否通過橢圓的焦點？若能，求出的值，若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，

【解析】

（1）由題意得，，從而求得、的值，從而求得橢圓的方程．

（2）設(shè)，，，，把直線方程代入橢圓的方程解出點、點坐標(biāo)，由直線與直線的交點在直線上，求出直線與軸交點坐標(biāo)，從而求得線是通過橢圓的焦點的條件．

解：（1）由已知橢圓的離心率，，則得，.從而橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，直線的斜率為，則直線的方程為，由消整理得和是方程的兩個根， 則，，即點的坐標(biāo)為，

同理，設(shè)直線的斜率為，則得點的坐標(biāo)為

，，直線的方程為：，

令，得，將點的坐標(biāo)代入，化簡后得：

又，橢圓的焦點為，即

故當(dāng)時，過橢圓的焦點.