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已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．

（Ⅰ）設(shè)直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)P，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取曲線上不同于的點(diǎn)，以為直徑作圓與相交另外一點(diǎn)，求該圓的面積最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用拋物線的定義“到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離”來求；(Ⅱ) 直線與拋物線相交，聯(lián)立消元，設(shè)點(diǎn)代入化簡，利用基本不等式求最值.

試題解析：（I）在線段的垂直平分線上，∴| MP | = | M |

故動點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)的距離

因此動點(diǎn)M的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，      

所以點(diǎn)M的軌跡的方程為        

(II)因?yàn)橐設(shè)S為直徑的圓與相交于點(diǎn)R，

所以，即

設(shè)，，則

，，，

所以，即

∵，，∴     

 故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立

當(dāng)時(shí)，，圓的直徑，

這時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)為．

考點(diǎn)：拋物線的定義，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，基本不等式，坐標(biāo)表示等，考查了學(xué)生的綜合化簡計(jì)算能力.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-,求直線AB的斜率.

(2)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-,求直線AB的斜率.

(2)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年北京市昌平區(qū)高三考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（文科） 題型：解答題

已知橢圓C:的左焦點(diǎn)為（-1，0），離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)過點(diǎn)F不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、 B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:的左焦點(diǎn)為（-1，0），離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)過點(diǎn)F不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、 B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.

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