Question

17．某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時(shí)間x（小時(shí)）的關(guān)系為$f（x）=|{\frac{4}{3}sin（\frac{π}{36}x）-a}|+{a^{\frac{1}{2}}}$，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且$a∈[0，\frac{3}{4}]$，若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，記作M（a）
（1）令$t=\frac{4}{3}sin（\frac{π}{36}x）$，x∈[0，24]，試求t的取值范圍
（2）試求函數(shù)M（a）
（3）市政府規(guī)定每天的綜合污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前該市的污染指數(shù)是否超標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可求t的取值范圍；
（2）分類討論求最值，即可求函數(shù)M（a）的解析式；
（3）由（Ⅱ）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由0≤x≤24得  $0≤\frac{π}{36}x≤\frac{2π}{3}$
當(dāng)$\frac{π}{36}x=0$即x=0時(shí)t_min=0當(dāng)$\frac{π}{36}x=\frac{π}{2}$即x=18時(shí)${t_{max}}=\frac{4}{3}$
所以t的取值范圍是$[0，\frac{4}{3}]$…（3分）
（2）令$g（t）=|{t-a}|+\sqrt{a}$，$t∈[0，\frac{4}{3}]$
當(dāng)$a＜\frac{2}{3}$時(shí)，即$0≤a＜\frac{2}{3}$時(shí)，$g{（t）_{max}}=g（\frac{4}{3}）=|{\frac{4}{3}-a}|+\sqrt{a}=\frac{4}{3}-a+\sqrt{a}$
當(dāng)$a≥\frac{2}{3}$時(shí)，即$\frac{2}{3}≤a≤\frac{3}{4}$時(shí)，$g{（t）_{max}}=g（0）=|{0-a}|+\sqrt{a}=a+\sqrt{a}$
所以$M（a）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-a+\sqrt{a}}\\{a+\sqrt{a}}\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{0≤a＜\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}≤a≤\frac{3}{4}}\end{array}$…（7分）
（3）當(dāng)$a∈[\frac{2}{3}，\frac{3}{4}]$時(shí)，易知M（a）單調(diào)遞增，所以$M（a）≤M（\frac{3}{4}）=\frac{{3+2\sqrt{3}}}{4}＜2$
當(dāng)$a∈[0，\frac{2}{3}）$時(shí)，${M^'}（a）=-1+\frac{1}{{2\sqrt{a}}}$由M′（a）=0得$a=\frac{1}{4}$
當(dāng)$a∈[0，\frac{1}{4}）$時(shí)，M′（a）＞0，M（a）單調(diào)遞增
當(dāng)$a∈（\frac{1}{4}，\frac{2}{3}）$時(shí)，M′（a）＜0M（a）單調(diào)遞減
所以函數(shù)$M{（a）_{max}}=M（\frac{1}{4}）=\frac{4}{3}-\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{19}{12}＜2$，所以沒(méi)有超標(biāo)
答：目前該市的污染指數(shù)沒(méi)有超標(biāo)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．