Question

【題目】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）在點(diǎn)的軌跡上有一點(diǎn)且點(diǎn)在軸的上方， ，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示出兩直線的斜率，利用斜率之積等于建立方程，化簡(jiǎn)即可求出軌跡方程；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用斜率公式及夾角公式，可得的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上消元后根據(jù)橢圓的范圍建立不等關(guān)系，即可解出的范圍.

試題解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的斜率

同理，直線的斜率

由已知有

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為

方法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為在點(diǎn)的軌跡上，所以

得

，

因?yàn)?/span>， ，

.

所以解得.

方法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

直線的斜率，直線的斜率

由得

所以（1）

又由于點(diǎn)的坐標(biāo)為為在點(diǎn)的軌跡上，所以

得，代入（1）得

.

因?yàn)?/span>， ，

.

所以解得.

方法三設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

直線的斜率，直線的斜率

由得

所以（1）

又由于點(diǎn)的坐標(biāo)為為在點(diǎn)的軌跡上，所以

代入（1）得， ，

， ，

.

所以解得.

方法四：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

直線的斜率，直線的斜率

由得

所以（1）

將代入（1）得， ， .

因?yàn)?/span>， ，

.

所以解得.

方法五設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

直線的斜率，直線的斜率

由得

.

所以解得.