Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，AA₁=2，點E、F、G分別為棱BB₁、AA₁、AD的中點，則有下列命題：
①BG∥平面A₁DE；
②A₁E⊥DE；
③平面A₁DE⊥平面BCC₁B₁；
④△A₁DE所在平面截該四棱柱所得的截面是平行四邊形；
⑤△A₁DE所在平面將該四棱柱分得的兩部分體積之比為7：17．
其中正確命題的序號為

 

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：應用題

分析：由正方體的結構特征，對所給的幾個命題用線面，面面之間的位置關系直接判斷正誤即可得到答案．

解答： 解：延長A1E交AB的延長線與G，連接DG交BC于H，連接EH，由已知可得H為BC中點．
①BG∥DG，平面A₁DE，∴BG∥平面A₁DE．故正確；
②，A₁D²=5，DE²=3，A₁E²=2，∴A₁E⊥DE；故正確；
③，面A₁B₁BA∩平面A₁DE=A₁E，由于面A₁B₁BA⊥平面BCC₁B₁；
若平面A₁DE⊥平面BCC₁B₁；則A₁E⊥平面BCC₁B₁，顯然錯誤
④△A₁DE所在平面截該四棱柱所得的截面是四邊形A₁EHD，不是平行四邊形；故錯誤
⑤△A₁DE所在平面將該四棱柱分得的兩部分，其中下半部分為三棱臺A₁DA-EHB，其體積為

1

3

(1+

1

4

+

1 4

)=

7

12

，又
正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為2，分得的兩部分體積之比為7：17．故正確．
綜上所述，正確命題的序號為①②⑤
故答案為：①②⑤

點評：本題考點是棱柱的結構特征，考查對正四棱柱的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關系的判定，涉及到的知識點較多，綜合性強．