Question

5．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，O為坐標原點，若按雙曲線右支上存在一點P，使$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，且|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 1±$\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可得PF₂⊥x軸，且|PF₂|=2c，令x=c代入雙曲線的方程，可得$\frac{^{2}}{a}$=2c，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：由題意可得PF₂⊥x軸，且|PF₂|=2c，
由x=c代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{^{2}}{a}$=2c，即c²-a²-2ac=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（負的舍去）．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及運用方程求解的思想，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．