Question

【題目】給定一個(gè)，是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).求的充分必要條件，使得是一個(gè)等邊三角形.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

記，，.在中，

，..

利用余弦定理，有.

類(lèi)似有..

因此，是一個(gè)等邊三角形，當(dāng)且僅當(dāng)

. ①

從第一個(gè)等式，有.

利用正弦定理，有 . ②

由于

. ③

從②和③，有

.

從上式，有. ④

那么，有，或 . ⑤

從①的第二個(gè)等式出發(fā)，類(lèi)似有

時(shí)，或. ⑥

當(dāng)時(shí)，，如果，則是一個(gè)等邊三角形，如果，則.于是，，由于，則

，..

那么，，；或..

當(dāng)時(shí)，，從⑤必有. ⑧

如果，從上式，有.由于，則，有，；或，.

如果，⑥的第二式成立，從⑥的第二式及⑧，有， ⑨

，，再利用⑧，有，類(lèi)似有，；或，.

因此，滿(mǎn)足題目條件的是一個(gè)等邊三角形，或者是頂角為或的等腰三角形.請(qǐng)讀者自己驗(yàn)證這時(shí)等式①滿(mǎn)足.