Question

 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且 的前

   （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

   （II）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

   （Ⅲ）設(shè)，，其中，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 思路點(diǎn)撥：本題將數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識有機(jī)的結(jié)合在一起，綜合考查了導(dǎo)數(shù)的逆用，對數(shù)的運(yùn)算、等差數(shù)列、等差數(shù)列的求和、錯(cuò)位相減法等知識點(diǎn)以及分析問題、綜合解決問題的能力。（Ⅰ）首先利用導(dǎo)數(shù)知識求出的關(guān)系式，然后利用與的關(guān)系求；（Ⅱ）利用對數(shù)知識求出，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，（Ⅲ）是一個(gè)是開放性問題，利用等差數(shù)列求和公式求出和，然后利用作差法比較大小。

解：（I）由得

因?yàn)?sub>的圖象過原點(diǎn)，所以

所以      …………2分

當(dāng)時(shí)，  

又因?yàn)?sub>適合

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 …………4分

   （II）由得：

   …………5分

所以 ……（1）

所以 …………（2）   -------6分

   （2）－（1）得：

所以   …………8分

   （Ⅲ）組成以0為首項(xiàng)6為公差的等差數(shù)列，所以M ；             ----------------9分

 組成以18為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，所以          -----------------10分

故      ---------11分

所以，對于正整數(shù)n，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)n=19時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，。          ------------------------14分

歸納總結(jié)：求解有關(guān)數(shù)列的綜合題，首先要善于從宏觀上整體把握問題，能透過給定信息的表象，揭示問題的本質(zhì)，然后在微觀上要明確解題方向，化難為易，化繁為簡，注意解題的嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)列問題對能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納、猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出。而解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們足夠的重視，因此，在平時(shí)要加強(qiáng)對能力的培養(yǎng)．