Question

【題目】已知拋物線,直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且垂直于拋物線的對(duì)稱軸，與拋物線兩交點(diǎn)間的距離為4.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知，過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線中過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)為4可得的值，進(jìn)而得到拋物線的方程．（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)其方程為，與拋物線方程聯(lián)立后求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式求出和，然后求出可證明為定值．

（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，

∴過焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的直線為，

∴直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，

由題意得，

∴拋物線的方程為．

（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由消去y整理得，

∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，

∴，解得或．

設(shè)，

則．

∴．

∴為定值，且定值為．