Question

【題目】若是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，且.

（1）求的值；

（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，問：是否存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)恒成立？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）令，可求出，令，可求出，進(jìn)而可求得的值；

（2）先求出的表達(dá)式，進(jìn)而可求出的表達(dá)式，再結(jié)合，可求出，并得到，從而可知，即可求出的取值范圍；

（3）由，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而可知時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)恒成立.

（1）當(dāng)時(shí)，，解得，

因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以.

當(dāng)時(shí)，，又，解得，

由，解得.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，又，所以.

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，.

時(shí)也符合上式，所以.

則，

所以.

所以，解得或.

（3）因?yàn)?/span>，

所以.

當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)時(shí)，，所以.

所以時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)恒成立.