Question

已知函數(shù)，，．
（1）若，試判斷并用定義證明函數(shù)的單調性；
（2）當時，求證函數(shù)存在反函數(shù)．

Answer 1

（1）增函數(shù)；（2）參考解析

解析試題分析：（1）當時，，.通過函數(shù)的單調性的定義可證得函數(shù)，單調遞增.
（2）由，所以將x的區(qū)間分為兩類即和.所以函數(shù).由（1）可得函數(shù)是遞增函數(shù).應用單調性的定義同樣可得函數(shù)是遞增.根據(jù)反函數(shù)的定義可得函數(shù)存在反函數(shù).
試題解析：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).
證明：當時，，
在上是增函數(shù).2分
在區(qū)間上任取，設，

所以，即在上是增函數(shù).6分
(2)因為，所以8分
當時，在上是增函數(shù)，9分
證明：當時，在上是增函數(shù)（過程略）11分
在在上也是增函數(shù)，當時，上是增函數(shù)12分
所以任意一個，均能找到唯一的和它對應，
所以時，存在反函數(shù)14分
考點：1.函數(shù)的單調性.2.函數(shù)單調性的定義.3.反函數(shù)的概念.