Question

【題目】已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的、，，與兩數(shù)中至少有一個屬于．

（1）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）證明：，且；

（3）當(dāng)時，若，求集合．

Answer 1

【答案】(1) 集合具有性質(zhì),集合不具有性質(zhì).(2)證明見解析.（3）.

【解析】

(1)利用與兩數(shù)中至少有一個屬于.即可判斷出結(jié)論.

(2)令“,由“與兩數(shù)中至少有一個屬于”可得屬于.

令,那么是集合中某項(xiàng),不符合不符合題意,符合.同理可得:令可以得到,令,可以得到,倒序相加即可.

(3)當(dāng)時,取,當(dāng)時,,由A具有性質(zhì)P,,又時,,可得,則 ,又,可得,則,則有.可得即是首項(xiàng)為,公差為等差數(shù)列是首項(xiàng)為0,公差為等差數(shù)列.

解：(1)在集合中，設(shè)

①,具有性質(zhì)

②,具有性質(zhì)

③,具有性質(zhì)

④,具有性質(zhì)

⑤,具有性質(zhì)

⑥,具有性質(zhì)

綜上所述：集合具有性質(zhì)；

在集合中，設(shè),

①,具有性質(zhì)

②,具有性質(zhì)

③,具有性質(zhì)

④,不具有性質(zhì)

⑤,具有性質(zhì)

⑥,具有性質(zhì)

綜上所述：集合不具有性質(zhì).

故集合具有性質(zhì),集合不具有性質(zhì).

(2) 證明:令,

則與兩數(shù)中至少有一個屬于”,

不屬于,屬于.

令,那么是集合中某項(xiàng),不符合題意,可以.

如果是或者,那么可知,

那么,只能是等于,矛盾.

所以令可以得到,

同理,令,可以得到,

倒序相加即可得到

即

(3)當(dāng)時,取,當(dāng)時,,

由具有性質(zhì),,又時,,

,

,

則,

,

從而可得,

故,即,

又

,則,則有

又

,

即是首項(xiàng)為,公差為等差數(shù)列,