Question

（本小題滿分14分）設(shè)和是函數(shù)的兩個極值點，其中，.

（1）若曲線在點處的切線垂直于軸，求實數(shù)的值；

（2）求的取值范圍；

（3）若，求的最大值（是自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知在處的切線垂直于軸等價于，從而可列出關(guān)于的方程，即可求得的值；

（2）由條件和是函數(shù)的兩個極值點且可知方程有兩個不等的正根，，則，，再由一元二次方程根的分布可得，從而

，故的取值范圍是；

（3）由（2）可知

，

因此可令，根據(jù)條件可得，從而，

構(gòu)造函數(shù)（其中），問題即等價于在函數(shù)在上的最大值，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可求得的最大值． .

試題解析：（1）∵，∴，

∵，∴；（2）函數(shù)的定義域為，，

依題意，方程有兩個不等的正根，（其中），故，

且，，∴

，故的取值范圍是；

（3）當(dāng)時，，若設(shè)，則

，于是有，

，

構(gòu)造函數(shù)（其中），則，

∴在上單調(diào)遞減，，故的最大值是．

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域；3.一元二次方程根的分布.