Question

已知圓P過點A（0，4）、B（-3，5）、C（0，-4）
（1）求圓P的方程；
（2）證明：若過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別交圓P于點E，F(xiàn)（E，F(xiàn)不重合），則直線EF的斜率為定值，且定值為

3

4

；
（3）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)（2）中的點A改為點B，其余條件不變，直線EF的斜率也為定值，且定值為0，若點M（x₀，y₀）（y₀≠0）為圓P上任意一點，請給出類似于（2）的正確命題（不必證明）．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓心坐標為P（a，0），則由|PA|=|PB|，可得a的值，從而可得圓P的方程；
（2）設(shè)直線AE的方程與圓P的方程聯(lián)立，求得E的坐標，同理得到F的坐標，利用斜率公式，即可得出結(jié)論；
（3）類似（2）的求解，可得直線EF的斜率也為定值，且定值為

x0+3

y0

．

解答： （1）解：設(shè)圓心坐標為P（a，0），則由|PA|=|PB|，可得

a2+16

=

(a+3)2+25

，
解得a=-3，
∴r=5，
∴圓的方程為（x+3）²+y²=25；
（2）證明：設(shè)直線AE的方程為：y=kx+4與圓C的方程聯(lián)立得：
（1+k²）x²+（6+8k）x=0，
解得：x=0或x=-

6+8k

1+k2

，
∴點E的坐標為（-

6+8k

1+k2

，

12k2-6k+4

1+k2

）．
同理點F的坐標為（-

6-8k

1+k2

，

12k2+6k+4

1+k2

）．
則k_EF=

12k

16k

=

3

4

為定值．
（3）類似（2）的求解，可得直線EF的斜率也為定值，且定值為

x0+3

y0

．

點評：本題考查圓的方程，考查圓的參數(shù)方程的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，確定圓的方程是關(guān)鍵．