Question

9．如圖（1），三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，F(xiàn)，G，H，分別是PC，AC，BC的中點，I是線段FG上任意一點，PC=AB=2BC，過點F作平行于底面ABC的平面截三棱錐，得到幾何體DEF-ABC，如圖（2）所示．
（1）求證：HI∥平面ABD；
（2）若AC⊥BC，求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用中位線定理、面面線面平行的判定與性質(zhì)定理即可證明．
（2）利用余弦定理可得cos∠GHF，根據(jù)V_C-FGH=V_F-CGH，即可得出．

解答 （1）證明：∵F，G，H，分別是PC，AC，BC的中點，∴GH∥AB，F(xiàn)G∥PA．∵GH?平面PAB，F(xiàn)G?平面PAB，
∴GH∥平面PAB，F(xiàn)G∥平面PAB．∵FG∩GH=G，∴平面PAB∥平面FGH．∵HI?平面FGH，∴HI∥平面ABD．
（2）解：由題意可得：HF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，HG=1，GF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故cos∠GHF=$\frac{1+\frac{5}{4}-\frac{7}{4}}{2×1×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．故sin∠GHF=$\frac{\sqrt{95}}{10}$，記點C到平面FGH的距離為h，
∵V_C-FGH=V_F-CGH，
∴$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$×1=$\frac{1}{3}×$$（\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{95}}{10}）$×h，
解得h=$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

點評 本題考查了面面線面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、“等體積變形”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．