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橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F(c，0)(c>0)的準線l與x軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)，過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M．證明．

 

答案：
解析：

本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量的計算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．

（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為．

由已知得，解得，c=2．所以橢圓的方程為．

（2）解：由（1）可得A(3，0)．設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3)．由方程組

得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0

依題意D=12(2-3k2)>0，得．

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則……②

由直線PQ的方程得y1=k(x1-3)，y2=(x2-3)．于是

y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]……③

∵ ，∴ x1x2+y1y2=0……④

由①、②、③、④得5k2=1，從而．

所以直線PQ的方程為

（3）證明：，由已知得方程組

因F(2，0)M(x1，-y1)

故

而．

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2
2
，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
AQ
（λ＞1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明
FM
=-λ
FQ
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2
2
，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，短軸長為2
3
，左焦點為F（-c，0）（c＞0），相應的準線l與x軸交于點A，且點F分
AO
的比為3，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設(shè)
AQ
=λ
AP
（λ＞1），點Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′，求證：
FQ′
=-λ
FP
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•煙臺二模）已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年蘇教版高中數(shù)學選修1-1 2.2橢圓練習卷（解析版） 題型：解答題

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點 .

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.

 

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