Question

已知m∈R，設命題p：方程

x2

3-m

+

y2

m+2

=1表示的曲線是雙曲線；命題q：橢圓

x2

m+5

+

y2

m

=1的離心率e∈（

1

2

，1）
（1）若命題p為真命題，求m的取值范圍；
（2）若命題“p∧q”為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：（1）根據(jù)線標準的方程與雙曲線的有關(guān)性質(zhì)可得，進而求出m的范圍．
（2）根據(jù)題意分別求出命題p、q為真時m的范圍，再結(jié)合命題“p∧q”是真命題，則p、q都是真命題，進而求出m的范圍．

解答： 解：（1）命題p為真命題，即方程

x2

3-m

+

y2

m+2

=1表示的曲線是雙曲線；
∴（3-m）（m+2）＜0，
解得m＜-2或m＞3，
∴m的取值范圍為（-∞，-2）∪（3，+∞）
（2）∵命題“p∧q”為真命題，
∴p與q都為真命題，
∵橢圓

x2

m+5

+

y2

m

=1的離心率e∈（

1

2

，1），
∴

1

2

＜

c

a

＜1，即

1

4

＜

c2

a2

＜1，
∴

1

4

＜

5

m+5

＜1，且m＞0，
∴0＜m＜15，
由（1）知m＜-2或m＞3，
∴3＜m＜15，
故m的取值范圍（3，15）

點評：本題考查了雙曲線與圓的標準方程及其性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．