Question

已知圓C：(x－2)²＋(y－3)²=4，直線l:(m＋2)x＋(2m＋1)y=7m＋8，

(1)證明：不論m為何實(shí)數(shù)值，直線l與圓C恒相交;

(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長最短時，求m的值.

Answer 1

(1)證明:方程(m＋2)x＋(2m＋1)y=7m＋8可整理為(x＋2y－7)m=8－2x－y.

∵m∈R，∴解之得

∴直線l恒過定點(diǎn)P(3，2).

又|PC|²=(3－2)²＋(2－3)²=2＜4,∴點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部.

因此，不論m為何實(shí)數(shù)值，直線l與圓C恒相交.

(2)解:要使過點(diǎn)P的直線l被圓C截得的弦長最短，則需使弦心距最長，當(dāng)弦心距為|PC|時最長，此時l⊥PC.

∵k_PC==－1,∴k_l=1，即－=1.∴m=－1,即m的值為－1.