Question

已知圓C的圓心為點C（1，0），且與直線x+y-3=0相切，是否存在經過點P（-1，0）的直線l，使得直線l與圓C相交于A，B兩點，切線AB的中點Q到原點O 與圓心C的距離相等．若存在，求出直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：計算題,直線與圓

分析：先求出圓C：（x-1）²+y²=2，設方程為y=k（x+1），代入圓的方程，可得（1+k²）x²+（2k²-2）x+k²-1=0，求出Q的坐標，利用切線AB的中點Q到原點O與圓心C的距離相等，建立方程，即可求出直線l的方程．

解答： 解：∵圓C的圓心為點C（1，0），且與直線x+y-3=0相切，
∴r=

2

2

=

2

，
∴圓C：（x-1）²+y²=2，
由題意，直線的斜率存在，設為k，則方程為y=k（x+1），
代入圓的方程，可得（1+k²）x²+（2k²-2）x+k²-1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2-2k2

1+k2

，y₁+y₂=

4k

1+k2

，
∴Q（

1-k2

1+k2

，

2k

1+k2

）
∴|QO|²=（

1-k2

1+k2

）²+（

2k

1+k2

）²=1
∴|QC|²═（

1-k2

1+k2

-1）²+（

2k

1+k2

）²=1
∴k=±

3

3

，
∴直線l的方程為y=±

3

3

（x+1）．

點評：本題考查直線與圓的性質的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．