Question

21.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω>0，0≤≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱，且在區(qū)間［0，］上是單調(diào)函數(shù)，求和ω的值.

Answer 1

21.

解：由f（x）是偶函數(shù)，得f（－x）=f（x）

即sin（－ωx+）=sin（ωx+）.

所以－cossinωx=cossinωx

對(duì)任意x都成立，且ω＞0，所以得cos=0.

依題設(shè)0≤≤π，所以解得=.

由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得f（－x）=－f（+x）.

取x=0，得f（）=－f（），所以f（）=0.

∵f（）=sin（+）=cos，

∴cos=0，又ω＞0，得=+kπ，k=0，1，2，….

∴ω=（2k+1），k=0，1，2，….

當(dāng)k=0時(shí)，ω=，f（x）=sin（x+）

在［0，］上是減函數(shù)；

當(dāng)k=1時(shí)，ω=2，f（x）=sin（2x+）在［0，］上是減函數(shù)；

當(dāng)k≥2時(shí)，ω≥，f（x）=sin（ωx+）在［0，］上不是單調(diào)函數(shù).

所以，綜合得ω=或ω=2.