Question

7．在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BB₁，CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AD∥平面A₁EFD₁；
（2）求直線AD到平面A₁EFD₁的距離．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定證明；
（2）過A作AH⊥A₁E與H，JAH交A₁E于G，則AH⊥面A₁EFD₁，
線段AG的長是直線AD到平面A₁EFD₁的距離，△AA₁H∽△AGA₁，則有$\frac{AG}{A{A}_{1}}=\frac{A{A}_{1}}{AH}$⇒AG即可．

解答 解：（1）證明：如圖，∵E，F(xiàn)分別是BB₁，CC₁的中點(diǎn)，∴EF∥A₁D₁，∴四點(diǎn)A₁、E、F、D₁共面．
∵AD∥EF，AD?面A₁EFD₁，EF?A₁EFD₁∴AD∥平面A₁EFD₁
（2）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中面 AA₁B₁B中⊥面A₁EFD₁．
過A作AH⊥A₁E與H，JAH交A₁E于G，則AH⊥面A₁EFD₁，
線段AG的長是直線AD到平面A₁EFD₁的距離，
△AA₁H∽△AGA₁，則有$\frac{AG}{A{A}_{1}}=\frac{A{A}_{1}}{AH}$⇒AG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}a$
∴直線AD到平面A₁EFD₁的距離為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}a$．

點(diǎn)評 本題考查了空間線面平行的判定，線面距離，屬于中檔題．