Question

17．已知直線：$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα+3}\\{y={t}sinα}\end{array}}\right.$（t為參數）恒過橢圓$\left\{{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=msinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）的右焦點F．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設直線與橢圓交于M，N兩點，求|MF|•|NF|的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線過定點（3，0），知焦點F（3，0），可得離心率；
（2）把直線參數方程與橢圓方程聯(lián)立，利用參數的幾何意義求|MF|•|NF|的最大值．

解答 解：（1）直線過定點（3，0），知焦點F（3，0），故離心率為$\frac{3}{5}$（5分）
（2）把直線參數方程與橢圓方程聯(lián)立得：16（tcosα+3）²+25（tsinα）²=25×16，
化簡得（16cos²α+25sin²α）t²+96tcosα-32×8=0，
∴$|{{t_1}{t_2}}|=\frac{32×8}{{16{{cos}^2}α+25{{sin}^2}α}}=\frac{32×8}{{16+9{{sin}^2}α}}≤16$，
∴|MF|•|NF|的最大值為16 （10分）

點評 本題考查直線、橢圓的參數方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查參數幾何意義的運用，屬于中檔題．