Question

對于任意的實數a，不等式|a+1|+|a-1|≥M恒成立，記實數M的最大值是m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|2x-3|≤m．

Answer 1

分析：（1）由絕對值不等式|a+1|+|a-1|≥|（a+1）-（a-1）|=2，得到其最小值為2，故只需2≥M，從而求得m的值．
（2）不等式即|x-1|+|2x-3|≤2，分x≤1，1＜x＜

3

2

，x≥

3

2

三種情況分別去掉絕對值求出不等式的解集，再把所得到的解集取并集即得所求．

解答：解：（1）由絕對值不等式，有|a+1|+|a-1|≥|（a+1）-（a-1）|=2，
那么對于|a+1|+|a-1|≥M，只需|a+1|+|a-1|_min≥M，即M≤2，則m=2．
（2）不等式即|x-1|+|2x-3|≤2，
當x≤1時：1-x-2x+3≤2，即x≥

2

3

，則

2

3

≤x≤1，
當1＜x＜

3

2

時：x-1-2x+3≤2，即x≥0，則1＜x＜

3

2

，
當x≥

3

2

時：x-1+2x-3≤2，即x≤3，則

3

2

≤x≤3，
那么不等式的解集為[

2

3

，1]∪（1，

3

2

 ）∪[

3

2

，3]=[

2

3

，3]．

點評：本題考查查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，求出m值，是解題的關鍵．