Question

已知：函數(shù)f（x）=x+

4

x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，2]是減函數(shù)，并求f（x）在（0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）可得函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，可證f（-x）=-f（x），由函數(shù)奇偶性的定義可得；
（2）任取x₁，x₂∈（0，2]且x₁＜x₂，可判f（x₁）-f（x₂）＞0，可得單調(diào)性和最值．

解答：解：（1）由題意可得f（x）=x+

4

x

的定義域為{x|x≠0}，
故可得f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈（0，2]且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-（x2+

4

x2

）
=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，2]且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，x₁x₂-4＜0
∴（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在（0，2]是減函數(shù)，
故當x=2時，f（x）取最小值f（2）=4．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，涉及函數(shù)的最值的求解，屬基礎(chǔ)題．