Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．

(Ⅰ)若在邊BC上存在一點Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；

(Ⅱ)當邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求二面角A―PD―Q的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(Ⅰ)如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有． 　　2分 　　設，則， 　　在中，有． 　　在中，有　　4分 　　在中，有． 　　即，即． 　　∴． 　　故的取值范圍為　　6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當，時，邊BC上存在唯一點Q(Q為BC邊的中點)，使PQ⊥QD 　　過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD． 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． 　　過M作MN⊥PD于N，連結NQ，則QN⊥PD． 　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角　　8分 　　在等腰直角三角形中，可求得，又，進而　　10分 　　∴． 　　故二面角A－PD－Q的余弦值為　　12分