Question

（分）對于元集合，若元集，

滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）．試確定集共有多少個“等和劃分”．

Answer 1

解析:

法一：不妨設(shè)，由于當(dāng)集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個數(shù)，設(shè)，為最大數(shù)，由，則

，，于是 ，

故中有奇數(shù)個奇數(shù)．

、若中有個奇數(shù)，因中的六個奇數(shù)之和為，而，則

，這時得到唯一的；

、若中有個奇數(shù)、兩個偶數(shù)；用表示中這兩個偶數(shù)之和；表示中這三個奇數(shù)之和，則，于是．共得的種情形．其中，

、當(dāng)，則，，；可搭配成的個情形；

、當(dāng)，則，；可搭配成的個情形；

、當(dāng)，則，，，可搭配成的個情形；

、當(dāng)，則，，，可搭配成的個情形；

、當(dāng)，則，，可搭配成的個情形；

、當(dāng)，則，；可搭配成的個情形；

、當(dāng)，則，；可搭配成的個情形．

、若中有一個奇數(shù)、四個偶數(shù)，由于中除外，其余的五個偶數(shù)和，從中去掉一個偶數(shù)，補(bǔ)加一個奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個情形：．

綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“等和劃分”．

法二：元素交換法，顯然，恒設(shè)；

、首先注意極端情況的一個分劃：，顯然數(shù)組與中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中；

以下考慮兩數(shù)至少一個不在中的情況，為此，考慮中個數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換：

、；；；

；共得到個對換；

、；；；

；；共得到個對換；

、；；；

；；

；共得到個對換．每個對換都得到一個新的劃分，因此，本題共得種等和劃分．