Question

19．在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．現(xiàn)以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-3+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sin θ+4cos θ，可得ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，利用互化公式即可得出直角坐標(biāo)方程；直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-3+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t可得直線l的普通方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程改寫為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入到圓C方程中，得t²-（4+5$\sqrt{3}$）t+33=0，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程下t的幾何意義知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sin θ+4cos θ，
所以ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，
所以x²+y²-4x-4y=0，
即（x-2）²+（y-2）²=8；
直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y+2$\sqrt{3}$-3=0..…（5分）
（2）把直線l的參數(shù)方程改寫為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入到圓C：x²+y²-4x-4y=0中，
得t²-（4+5$\sqrt{3}$）t+33=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=33．
點(diǎn)P（-2，-3）顯然在直線l上，
由直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程下t的幾何意義知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|=33，
所以|PA|•|PB|=33..…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．