Question

【題目】設(shè)函數(shù)（且）

（1）若函數(shù)存在零點，求實數(shù)的最小值；

（2）若函數(shù)有兩個零點分別是，且對于任意的時恒成立，求實數(shù)的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意列出不等式組，令，求出對稱軸，若在區(qū)間上有解，則解不等式即可求得k的范圍；(2)由韋達(dá)定理計算得，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，化簡得，令

，求出函數(shù)在區(qū)間上的值域從而求得m的取值范圍.

(1)由題意知有解，則

有解， ①③成立時，②顯然成立，因此

令，對稱軸為：

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

因此若在區(qū)間上有解，

則，解得，

又，則，k得最小值為；

(2)由題意知是方程的兩根，則

，，

聯(lián)立解得 ，解得，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

由可得對任意的恒成立，

化簡得，令，，

對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，所以