Question

如圖所示鐵路線上AB線段長100km，工廠C到鐵路線上A處的垂直距離CA為20km．現(xiàn)在要在AB上選一點D，從D向C修一條直線公路．已知鐵路運輸每噸千米與公路運輸每噸千米的運費之比為3：5，為了使原料從B處運到工廠C的運費最省，D應選在何處？

Answer 1

分析：設∠CDA=α，鐵路和公路每公里的運費分別為3K和5K，則DA=

20

tanα

，CD=

20

sinα

，進而可表示出總運費，再利用導數(shù)的方法，可求運費最省時，D的位置．

解答：解：設∠CDA=α，總運費為y，鐵路和公路每公里的運費分別為3K和5K，
則DA=

20

tanα

，CD=

20

sinα

∴BD=100-

20

tanα

∴y=3K（100-

20

tanα

）+5K×

20

sinα

=300K+20K×

5-3cosα

sinα

∵y′=20K×

3-5cosα

sin2α

令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

=0，可得cosα=

3

5

令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

＞0，可得cosα＜

3

5

，令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

＜0，可得cosα＞

3

5

從而可知，當cosα=

3

5

時，函數(shù)取得極小值，而且就是函數(shù)的最小值
此時，sinα=

4

5

，tanα=

4

3

，DA=

20

tanα

=15km
即D離A點15km．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建，考查導數(shù)知識的運用，選擇適當?shù)膮��?shù)是解題的關鍵．