Question

7．建造一個容積為8立方米，深為2米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價為每平方米100元，池底的造價為每平方米300元．
（1）把總造價y（元）表示為底面一邊長x（米）的函數(shù)．
（2）判斷此函數(shù)在區(qū)間（2，+∞）上的單調性，并證明你的判斷．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件便可得到池底面積為4平方米，底面的另一邊長$\frac{4}{x}$，從而便可得到總造價y=$400（x+\frac{4}{x}）+1200$，x＞0；
（2）對上面得到的函數(shù)求導，并能夠判斷x＞2時導數(shù)的符號，從而得出該函數(shù)的單調性．

解答 解：（1）根據(jù)條件，底面另一邊長為$\frac{4}{x}$；
∴長方體的底面積為4，側面積為4x$+\frac{16}{x}$，由題意得：
y=400（$x+\frac{4}{x}$）+1200，x＞0；
（2）$y′=400•\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$；
∵x＞2；
∴x²-4＞0；
∴y′＞0；
∴此函數(shù)在（2，+∞）上單調遞增．

點評 考查長方體的體積公式，根據(jù)實際問題建立函數(shù)關系式的方法，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性的方法．