Question

已知橢圓

x2

8

+

y2

2

=1經過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0）．
（1）當m=3時，判斷直線l與橢圓的位置關系（寫出結論，不需證明）；
（2）當m=3時，P為橢圓上的動點，求點P到直線l距離的最小值；
（3）如圖，當l交橢圓于A、B兩個不同點時，求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）當m=3時，直線l與橢圓相離．
（2）直線l的斜率為

1

2

，設直線a與直線l平行，且直線a與橢圓相切，設直線a的方程為y=

1

2

x+b…（3分）聯(lián)立

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0…（4分），故△=（2b）²-4（2b²-4）=0，解得b=±2，由此能求出點P到直線l距離的最小值．
（3）由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．

解答：（1）解：當m=3時，直線l與橢圓相離．…（2分）
（2）解：可知直線l的斜率為

1

2

，
設直線a與直線l平行，且直線a與橢圓相切，
設直線a的方程為y=

1

2

x+b…（3分）
聯(lián)立

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0…（4分）
∴△=（2b）²-4（2b²-4）=0，解得b=±2（5分）
∴直線a的方程為y=

1

2

x±2．
所求P到直線l的最小距離等于直線l到直線y=

1

2

x+3的距離    …（6分）
d=

3-2

12+( 1 2 )2

=

2 5

5

．…（7分）
（3）證明：由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，
設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，…（9分）
而k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

…（10分）
=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

…（11分）
=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

           
=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1 -2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴k₁+k₂=0…（13分）
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．…（14分）

點評：本題考查直線l橢圓的位置關系的判斷，求點到直線距離的最小值，證明兩直線與x軸始終圍成一個等腰三角形．綜合性強，難度大，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．