Question

13．已知函數f（x）=ax-lnx．
（1）過原點O作曲線y=f（x）的切線，求切點的橫坐標；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過原點O作曲線y=f（x）的切線，求出切線方程，即可求切點的橫坐標；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²），化為ax²-ax-lnx≥0對?x∈[1，+∞）恒成立，分類討論，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）設切點為（x₀，ax₀-lnx₀），∴$k=f'（{x_0}）=a-\frac{1}{x_0}$，
直線的切線方程為y-（ax₀-lnx₀）=（a-$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
又切線過原點-ax₀+lnx₀=-ax₀+1，
所以lnx₀=1，解得x₀=e，所以切點的橫坐標為e．（4分）
（2）因為不等式ax-lnx≥a（2x-x²）對?x∈[1，+∞）恒成立，
所以ax²-ax-lnx≥0對?x∈[1，+∞）恒成立．
設g（x）=ax²-ax-lnx，g′（x）=2ax-a-$\frac{1}{x}$．
①當a≤0時，∵$g'（x）=a（2x-1）-\frac{1}{x}＜0$，∴g（x）在[1，+∞）上單調遞減，
即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合題意．
②當a＞0時，$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-ax-1}}{x}$．設$h（x）=2a{x^2}-ax-1=2a{（x-\frac{1}{4}）^2}-\frac{a}{8}-1$，
在[1，+∞）上單調遞增，即a≥1．
（ i）當a≥1時，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合題意；
（ ii）當0＜a＜1時，∵a-1＜0，∴?x₀∈[1，+∞）使得h（x₀）=0，
則g（x）在[1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增，∴g（x₀）＜g（1）=0，則0＜a＜1不合題意．
綜上所述，a≥1．（12分）

點評 本小題主要考查函數與導數的知識，具體涉及到導數的運算，用導數來研究函數的單調性等，考查學生解決問題的綜合能力．