Question

（本題滿分14分）

已知實(shí)數(shù)，曲線與直線的交點(diǎn)為(異于原點(diǎn))，在曲線 上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，接著過點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，如此下去，可以得到點(diǎn)，，…,,… .  設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

（Ⅰ）試用表示，并證明；   

（Ⅱ）試證明，且（）；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：  （）.

Answer 1

解析：（Ⅰ）點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，所以, ……………1分

解得： ，故，   ……………………… 2分

因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091015/20091015111730007.gif' width=41 height=19>，所以故，故. ………3分

（Ⅱ）由已知，，，

即：，                      …………………………… 4分

所以

因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091015/20091015111731015.gif' width=105 height=21>，所以.            ……………………………… 5分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

1當(dāng)時(shí)，成立；

2假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，（）

則當(dāng)時(shí)，    ………………………………… 6分

         所以       …………………………… 7分

         所以當(dāng)時(shí)命題也成立，

綜上所述由1，2知（）成立.………………………………… 8分

 

(注：此問答題如：只是由圖可知，而不作嚴(yán)格證明，得分一律不超過2分)

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，， ()，…………9分

      所以.………………………………10分

      因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091015/20091015111732034.gif' width=39 height=41>，所以當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

所以有.……………………………………………………………12分

      又因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091015/20091015111732038.gif' width=168 height=35>，

      所以，，…………………13分

故有：

 ….14分