Question

18．${（\sqrt{2x}+\frac{1}{x^2}）^n}$展開式中只有第六項二項式系數最大，則展開式中的常數項是720．

Answer 1

分析 由條件利用二項式系數的性質求得n=10，再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數項．

解答 解：由題意可得${C}_{n}^{5}$最大，故n=10，故${（\sqrt{2x}+\frac{1}{x^2}）^n}$=${（\sqrt{2x}+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{10}$，
它的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（\sqrt{2}）}^{10-r}$•${x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
令$\frac{10-5r}{2}$=0，求得r=2，故展開式中的常數項是${C}_{10}^{2}$•${（\sqrt{2}）}^{8}$=720，
故答案為：720．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．