Question

【題目】橢圓（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，與y軸正半軸交于點B，若△BF1F2為等腰直角三角形，且直線BF1被圓x2+y2＝b2所截得的弦長為2，

（1）求橢圓的方程；

（2）直線l：y＝kx+m與橢圓交于點A，C，線段AC的中點為M，射線MO與橢圓交于點P，點O為△PAC的重心，求證：△PAC的面積S為定值；

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析

【解析】

（1）由題意得b＝c，BF1＝2，求出a、b后即可得解；

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），聯(lián)立方程組得，，由題意x0，y0，△PAC的面積，化簡即可得證.

（1）根據(jù)題意，由△BF1F2為等腰直角三角形可得b＝c，

直線BF1：y＝x+b被圓x2+y2＝b2所截得的弦長為2，即BF1＝2，

所以a＝2，，所以橢圓的方程為1；

（2）證明：直線l的方程為y＝kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，

x1+x2，x1x2，y1+y2＝k（x1+x2）+2m，

由題意點O為△PAC重心，設(shè)P（x0，y0），可得0，0，

所以x0＝-（x1+x2），y0＝-（y1+y2），

代入橢圓1；得1，化為2m2＝1+2k2，

設(shè)坐標(biāo)原點O到直線l的距離為d，

則△PAC的面積S|AC|3d|x1﹣x2||m||x1﹣x2||m|

|m|＝3．

可得△PAC的面積S為定值．