Question

【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點(diǎn)處的切線方程為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在（0，+）上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;（2）

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)的解析式得其定義域?yàn)?/span>.. 因?yàn)榍�線在點(diǎn)處的切線方程為，所以,,聯(lián)立可得解方程組可得. 所以， .分別解不等式與，可得單調(diào)遞減與遞增區(qū)間。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以對(duì)任意，不等式恒成立.考慮函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)?/span>。當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.于是，不等式對(duì)任意恒成立，不符合題意；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)， ，即恒成立時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，構(gòu)造函數(shù)， 大于函數(shù)的最大值，求導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，對(duì)任意，所以，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，令得 ，因?yàn)?/span>，所以。所以當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞增，所以 ，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.于是當(dāng)時(shí)， 成立，不符合題意；綜合上面三種情況可得所求。

試題解析：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

.

依題意得， ，即

所以.

所以， .

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）設(shè)函數(shù)，故對(duì)任意，不等式恒成立.

又，當(dāng)，即恒成立時(shí)，

函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，則，

所以，即，符合題意；

當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.

于是，不等式對(duì)任意恒成立，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則 ；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞增，

所以 ，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)時(shí)， 成立，不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為： .