Question

成都市為“市中學生知識競賽”進行選拔性測試，且規(guī)定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰．若現(xiàn)有500人參加測試，學生成績的頻率分布直方圖如下：
（1）求獲得參賽資格的人數(shù)；
（2）根據(jù)頻率直方圖，估算這500名學生測試的平均成績；
（3）若知識競賽分初賽和復(fù)賽，在初
賽中每人最多有3次選題答題的機會，累計
答對2題或答錯2題即終止，答對2題者方
可參加復(fù)賽，已知參賽者甲答對每一個問題
的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已
知他連續(xù)兩次答錯的概率為

1

9

，求甲通過初
賽的概率．

Answer 1

分析：（1）求出滿足參賽資格的區(qū)域包含的長方形的縱坐標的和乘以組距得到分布在該區(qū)域的頻率，再乘以樣本容量求出獲得參賽資格的人數(shù)；
（2）由頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是各個矩形寬的中點橫坐標乘以各個矩形的縱坐標的和，在乘以組距即可；
（3）先求出甲答對每一道題的概率，然后根據(jù)甲通過初賽說明答對2題，分為兩種情形，前2題答對1題和第3題答對或前2題答對，分別求出相應(yīng)的概率，再相加，即可求出所求．

解答：解：（1）由頻率分布直方圖得，獲得參賽資格的人數(shù)為
500×（0.0050+0.0043+0.0032）×20=125人；
（2）（40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032）×20
=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48   
（3）設(shè)甲答對每一道題的概率為p，則（1-p）²=

1

9

解得：p=

2

3

，
甲通過初賽說明答對2題，分為兩種情形，前2題答對1題的，第3題答對的概率為

C

1 2

1

3

×

2

3

×

2

3

=

8

27

，
前2題答對的概率為

2

3

×

2

3

=

4

9

，
∴甲通過初賽的概率為

8

27

+

4

9

=

20

27

．

點評：在求頻率分布直方圖中的問題時，特別注意圖中的縱坐標是

頻率

組距

、利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)是利用各個矩形的中點橫坐標乘以各個矩形的面積和．屬于基礎(chǔ)題．