Question

7．設$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，x＜1\\ lnx，x≥1\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax-1有4不同的零點，則a的取值范圍為$（0，\frac{1}{e^2}）$．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)判斷x≥1時，y=ax+1與y=f（x）交點的個數(shù)，利用導函數(shù)的幾何意義求解即可．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，x＜1\\ lnx，x≥1\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax-1有4不同的零點，
就是方程f（x）=ax+1有4不同的根，
就是函數(shù)y=f（x）與y=ax+1有4個交點，
因為y=ax+1恒過（0，1），而y=f（x）在x＜1時，x=0時最大值為1，
所以y=ax+1在x≥1時，與y=lnx有兩個交點，才滿足題意．
又y′=$\frac{1}{x}$，設切點坐標（m，n），可得$\frac{1}{m}$=$\frac{n-1}{m-0}$，解得n=2，即lnm=2，解得m=e²，
此時y=ax+1在x≥1時，與y=lnx有1個交點，所以0＜a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$．
故答案為：$（0，\frac{1}{e^2}）$．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，切線方程以及函數(shù)的零點個數(shù)的求法，考查分析問題解決問題的能力．